= {frac{3}{2}ln left t right + C } {frac{{{u^4}}}{{u - 1}} } + {3{u^4} + 4{u^3} + 6{u^2} } {t = {u^2} + 1,;;dt = 2udu,};; {Rightarrow x = {u^{12}},;;dx = 12{u^{11}}du.} {{e^x} + 1 = {u^2},};; Находим окончательный ответ: Используем подстановку Получаем новый интеграл (u = {x^{largefrac{1}{n}normalsize}}.) = {int {frac{{12{u^{11}}du}}{{{u^4} - {u^3}}}} }
Правила интегрирования иррациональных функций # Положение по легкоатлетическому кроссу
Интеграл через новую переменную (u) имеет вид = {int {ufrac{{2udu}}{{{u^2} - 1}}} } = {frac{3}{2}ln left( {{u^2} + 1} right) + C } Используем следующую подстановку: Интегрирование иррациональных функций, содержащих (sqrt {{a^2} - {x^2}},) (sqrt {{a^2} + {x^2}}) и (sqrt {{x^2} - {a^2}},) рассматривается ={ 5left( {frac{{{u^4}}}{4} + frac{{{u^3}}}{3} + frac{{{u^2}}}{2} + u + ln left {u - 1} right} right) + C.} {int {frac{{sqrt {x + 9} }}{x}dx} } {I = int {frac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x + 1}}dx} } = {int {frac{u}{{{u^2} - 9}} cdot 2udu} } + {12u + 12ln left {u - 1} right + C }} = {int {frac{{dx}}{{x + {x^{largefrac{1}{3}normalsize}}}}} .}
+ {6{x^{largefrac{1}{6}normalsize}} + 12{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}} } {Rightarrow x = {u^3},;;dx = 3{u^2}du.} = {2u + 18 cdot frac{1}{6}ln left {frac{{u - 3}}{{u + 3}}} right + C } = {int {frac{{left( {4{u^3} + 8u} right)du}}{u}} } Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer. {I = int {frac{{dx}}{{sqrt[large 3normalsize]{x} - sqrt[large 4normalsize]{x}}}} } = {4int {left( {{u^2} + 2} right)du} } на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки = {2int {udu} - 4int {du} + 4int {frac{{du}}{{u + 1}}} } = {int {frac{{3{u^2}du}}{{{u^3} + {{left( {{u^3}} right)}^{largefrac{1}{3}normalsize}}}}} } = {12int {frac{{{u^8}du}}{{u - 1}}} .}
инструкция по режиму мытья посуды
интегрирования иррациональных правила функций
= {2int {frac{{{u^2}du}}{{{u^2} - 1}}} } = {frac{{4{u^3}}}{3} + 8u + C } Все права защищены www.math24, 2009-2015 + {3sqrt[large 3normalsize]{x} + 4sqrt[large 4normalsize]{x} } Находим искомый интеграл: {I = int {frac{{12{u^{11}}du}}{{{{left( {{u^{12}}} right)}^{largefrac{1}{3}normalsize}} - {{left( {{u^{12}}} right)}^{largefrac{1}{4}normalsize}}}}} } Вычислить интеграл (int {largefrac{{dx}}{{sqrt[5]{x} - 1}}normalsize} .) + {3{left( {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}}} right)^4} + 4{left( {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}}} right)^3} } {I = 5int {left( {{u^3} + {u^2} + u + 1 + frac{1}{{u - 1}}} right)du} } = {frac{3}{2}ln left( {{{left( {{x^{largefrac{1}{3}normalsize}}} right)}^2} + 1} right) + C } Запишем интеграл в виде
+ {6sqrt[large 6normalsize]{x} + 12sqrt[large {12}normalsize]{x} } = {{u^3} + {u^2} + u + 1 + frac{1}{{u - 1}}.} {Rightarrow dx = frac{{2udu}}{{{e^x}}} = frac{{2udu}}{{{u^2} - 1}}.} + {2{left( {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}}} right)^6} + frac{{12}}{5}{left( {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}}} right)^5} } = {{frac{3}{2}{x^{largefrac{2}{3}normalsize}} + frac{{12}}{7}{x^{largefrac{7}{{12}}normalsize}} } = {12left( {frac{{{u^8}}}{8} + frac{{{u^7}}}{7} + frac{{{u^6}}}{6} + frac{{{u^5}}}{5} + frac{{{u^4}}}{4} + frac{{{u^3}}}{3} + frac{{{u^2}}}{2} + u + ln left {u - 1} right} right) + C } Перепишем интеграл в виде Вычислить интеграл (largeintnormalsize {largefrac{{dx}}{{x + sqrt[3]{x}}}normalsize}.) Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь. Вычислить интеграл (int {largefrac{{sqrt x - 1}}{{sqrt x + 1}}normalsize dx} .) {u = {left( {x + 9} right)^{largefrac{1}{2}normalsize}},};;
правила интегрирования иррациональных функций
Вычислим интеграл = {{u^7} + {u^6} + {u^5} + {u^4} + {u^3} + {u^2} + u + 1 + frac{1}{{u - 1}}.} {Rightarrow x + 9 = {u^2},};; Окончательно получаем = {2int {left( {1 + frac{9}{{{u^2} - 9}}} right)du} } = {2int {du} - 2int {frac{{du}}{{1 - {u^2}}}} } = {2int {left( {1 + frac{1}{{{u^2} - 1}}} right)du} } = {int {frac{{dx}}{{{x^{largefrac{1}{3}normalsize}} - {x^{largefrac{1}{4}normalsize}}}}} .} Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней (x,) применяется подстановка в форме Интеграл принимает вид + {12ln left {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}} - 1} right + C }}
= {{frac{3}{2}sqrt[large 3normalsize]{{{x^2}}} + frac{{12}}{7}sqrt[large {12}normalsize]{{{x^7}}} } = {int {frac{{u - 1}}{{u + 1}}2udu} } Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель. Тогда интеграл (обозначим его как (I)) равен {I = int {frac{{dx}}{{x + {x^{largefrac{1}{3}normalsize}}}}} } Рациональная функция (x) под знаком корня (n)-ой степени, т.е. выражение вида (sqrt[large nnormalsize]{{largefrac{{ax + b}}{{cx + d}}normalsize}},) = {frac{{2{u^2}}}{2} - 4u + 4ln left {u + 1} right + C } = {int {frac{{5{u^4}du}}{{u - 1}}} } {I = 2int {left( {u - 2 + frac{2}{{u + 1}}} right)du} } + {12ln left {sqrt[large {12}normalsize]{x} - 1} right + C.}} {I = 3int {frac{{udu}}{{{u^2} + 1}}} }
{Rightarrow sqrt x = {u^2} + 2,};; [frac{{{u^2} - u}}{{u + 1}} = u - 2 + frac{2}{{u + 1}}.] = {5int {frac{{{u^4}du}}{{u - 1}}} .} {frac{{{u^8}}}{{u - 1}} } Вычислить интеграл (largeintnormalsize {sqrt {{e^x} + 1},dx} .) = {frac{3}{2}ln left( {sqrt[large 3normalsize]{{{x^2}}} + 1} right) + C.} = {3 cdot frac{1}{2}int {frac{{dt}}{t}} } {u = {x^{largefrac{1}{3}normalsize}},};; = {2u - ln left {frac{{1 + u}}{{1 - u}}} right + C } Вычислить интеграл (largeintnormalsize {largefrac{{dx}}{{sqrt[3]{x} - sqrt[4]{x}}}normalsize} .) Запишем интеграл в более удобном виде:
+ {2{x^{largefrac{1}{2}normalsize}} + frac{{12}}{5}{x^{largefrac{5}{{12}}normalsize}} } Сделаем подстановку: Тогда интеграл равен + {2sqrt x + frac{{12}}{5}sqrt[large {12}normalsize]{{{x^5}}} } = {2int {du} + 18int {frac{{du}}{{{u^2} - {3^2}}}} } = {2u - 2 cdot frac{1}{2}ln left {frac{{1 + u}}{{1 - u}}} right + C } После несложных преобразований получим окончательный ответ. {I = int {frac{{dx}}{{x + sqrt[large 3normalsize]{x}}}} } {Rightarrow x = {u^2},;;dx = 2udu.} {I = int {sqrt {{e^x} + 1} dx} } = {2sqrt {x + 9} + 3ln left {frac{{sqrt {x + 9} - 3}}{{sqrt {x + 9} + 3}}} right + C.}
{Rightarrow {e^x}dx = 2udu,};; = {x - 4sqrt x + 4ln left {sqrt x + 1} right + C.} интегрируется с помощью подстановки (u = {left( {largefrac{{ax + b}}{{cx + d}}normalsize} right)^{largefrac{1}{n}normalsize}}.) {u = {x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}},};; = {2sqrt {{e^x} + 1} - ln left {frac{{1 + sqrt {{e^x} + 1} }}{{1 - sqrt {{e^x} + 1} }}} right + C.} = {int {frac{{dx}}{{{x^{largefrac{1}{5}normalsize}} - 1}}} .} = {3int {frac{{{u^2}du}}{{{u^3} + u}}} } Сделаем еще одну замену: + {6{left( {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}}} right)^2} + 12left( {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}}} right) } Главная Математический анализ Пределы и непрерывность Дифференцирование Приложения производной Интегрирование Последовательности и ряды Двойные интегралы Тройные интегралы Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Ряды Фурье Дифференциальные уравнения Уравнения 1-го порядка Уравнения 2-го порядка Уравнения N-го порядка Системы уравнений Формулы и таблицы Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно (12.) Поэтому
заявление опек уронили цены на нефть
инструкция витрум пренатал
таможенная декларация почта
Вычислить интеграл (largeintnormalsize {largefrac{{dx}}{{sqrt {sqrt x - 2} }}normalsize}.) используем подстановку Найти интеграл (largeintnormalsize {largefrac{{sqrt {x + 9} }}{x}normalsize dx} .) {Rightarrow x = {u^5},;;dx = 5{u^4}du.} {I = int {frac{{dx}}{{sqrt {sqrt x - 2} }}} } {Rightarrow udu = frac{{dt}}{2}.} = {2int {frac{{{u^2} - 9 + 9}}{{{u^2} - 9}}du} } = {3int {frac{{udu}}{{{u^2} + 1}}}.} Математический Анализ Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби. Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно (3,) то сделаем замену:
лазер надежные {Rightarrow x = {left( {{u^2} + 2} right)^2} = {u^4} + 4{u^2} + 4,};; + {2{u^6} + frac{{12}}{5}{u^5} } {int {frac{{dx}}{{sqrt[large 5normalsize]{x} - 1}}} } {sqrt x - 2 = {u^2},};; = {{frac{3}{2}{u^8} + frac{{12}}{7}{u^7} } = {{frac{3}{2}{left( {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}}} right)^8} + frac{{12}}{7}{left( {{x^{largefrac{1}{{12}}normalsize}}} right)^7} } = {2int {frac{{{u^2} - u}}{{u + 1}}du} .} = {2int {frac{{{u^2}}}{{{u^2} - 9}}du} } {Rightarrow x = {u^2} - 9,;;dx = 2udu.} = {frac{3}{2}ln left( {{x^{largefrac{2}{3}normalsize}} + 1} right) + C } {dx = left( {4{u^3} + 8u} right)du.} = {3int {frac{{frac{{dt}}{2}}}{t}} } {I = 12int {left( {{u^7} + {u^6} + {u^5} + {u^4} + {u^3} + {u^2} + u + 1 + frac{1}{{u - 1}}} right)du} } Для интегрирования иррациональной функции, содержащей ({x^{largefrac{m}{n}normalsize}}) используется подстановка {{x^{largefrac{1}{5}normalsize}} = u,};; {I = int {frac{{dx}}{{{x^{largefrac{1}{5}normalsize}} - 1}}} } (u = {x^{largefrac{1}{n}normalsize}},) где (n) полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. = {frac{4}{3}sqrt {{{left( {sqrt x - 2} right)}^3}} + 8sqrt {sqrt x - 2} + C.} + {3{x^{largefrac{1}{3}normalsize}} + 4{x^{largefrac{1}{4}normalsize}} } = {2int {frac{{{u^2} - 1 + 1}}{{{u^2} - 1}}du} }